HIMPUNAN

1.  HIMPUNAN

• Pengertian

Himpunan adalah suatu kumpulan atau koleksi dari benda-benda atau objek-objek sebarang yang dapat di definisikan atau di terangkan dengan jelas, (cara pengumpulan objek-objek itu biasanya berdasarkan suatu sifat/ keadaan mereka yang sama, ataupun berdasarkan suatu aturan tertentu atau yang di tentukan).

Contoh :

1.      Himpuna yang terdiri dari mahasiswa Cianjur,

2.      Himpuna hari dalam satu minggu,

3.      Himpunan yang terdiri dari ayam, bebek, dan sapi, dan lain-lain.

• Anggota Himpunan

Nama lain anggota suatu himpunan adalah elemen atau unsure. Elemen (unsur anggota) suatu himpunan biasanya di nyatakan dengan huruf kecil, misalnya a, b, p, r, dan lain-lain. Suatu himpunan biasanya di nyatakan dengan huruf besar, misalnya himpunan A, T, S, R, dan lain-lain.

Contoh : B adalah himpunan huruf kata “APEL”, maka anggotanya adalah B = {a,p,e,l}

Suatu himpunan di tulis di antara kurung kurawal buka “{“ dan kurung kurawal tutup “}”, sedangkan nama suatu himpunan di tulis dengan menggunakan huruf besar  atau  capital dan untuk memisahkan nama anggota satu dengan yang lain di tulis dengan tanda koma (,)

• Notasi Anggota

Untuk menyatakan anggota suatu himpunan “E” dan bukan anggota suatu himpunan “E”. bila a merupakan elemen dari himpunan A, sedangkan b bukan elemen dari himpunan A, maka kita dapat menuliskan sebagai a E A, b E A.

Contoh : A = {2, 3, 7}

Maka : 2  A

3    A

7  A

9 A

• Banyaknya Anggota Suatu Himpunan

Jika n (P) merupakan suatu himpunan terhingga, maka banyaknya anggota suatu himpunan P = n (P).

Contoh : R = {7,8,6,9} maka n (R) = 4

B = {0,2,3,6,…100} maka n (B) = 51

• Menyatakan Suatu Himpunan

1.        Dengan kata-kata

Contoh : S adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

2.        Dengan mendaftar atau bentuk pendaftaran (Tabular-form)

Yaitu dengan menuliskan semua elemen himpunan tersebut di dalam kurung kurawal.

Contoh : Himpunan N = {1,2,3,…}

Himpunan Z = {Bogor, Bandung, Bekasi}

3.        Notasi pembentuk nimpunan atau bentuk pencirian (Set-builderform)

 Yaitu dengan menuliskan sifat atau ketentuan mengenai elemen himpunan tersebut.

Contoh : Himpunan A = {x/x adalah bilangan genap}

Himpunan R = {x/x adalah pelajar yang pandai}

Suatu himpunan disebut berhingga bila banyak anggotanya (yang berbeda) berhingga. Jika banyak anggotanya tak berhingga di sebut sebagai himpunan tak berhingga.

¥   Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, di lambangkan dengan “{}” atau “Ø”.

Contoh : Himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 3

¥   Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota yang sedang di bicarakan dan dilam bangkan “S”.

Contoh : K = {8,6,5,7}

Maka S = {4,5,6,7,8}

S = {5,6,7,8,9,10}, dan lain-lain.

• Diagram Venn

Pertamakali di perkenalkan oleh matematikawan Inggris bernama John Venn. Diagram Venn di gunakan untuk menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunan. Himpunan kita gambarkan sebagai daerah lingkaran sedangkan semesta sebagai daerah empat persegi panjang. Hal-hal yang perlu di perhatikan dalam membuat diagram venn :

1.        Himpunan semesta di gambarkan dengan persegi panjang, himpunan S yang merupakan symbol himpunan semesta, di tulis pada salah satu sudutnya, biasanya sudut kiri atas.

2.        Setiap himpunan yang di bicarakan ( selain himpunan kosong ) di gambarkan dengan kurva tertutup.

3.        Setiap anggita di tunjukkan dengan noktah atau titi, anggota himpunan di tulis dekat noktah tersebut.

4.        Jika anggota suatu himpunan banyak sekali, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan.

Contoh :

                                                 

Keterangan :

Q = ( 1,3,4)

S   = (1,2,3,4,5,6)

                                                                                     

• Macam-macam Himpunan

1.        Himpunan yang sama

Himpunan A&B di katakana sama dan di tulis A = B jika dan hanya jika AB atau B A.

Contoh : A = {1,2,3} dan R = {3,2,1} maka A = R

I = {I,c,h,a} dan T = {a,h,c,i} maka I = T

2.        Himpunan yang Berpotongan

Himpunan A&B saling berpotongan jika dan hanya jika terdapat anggota himpunan A yang juga anggota himpunan B. notasi berpotongan “   “

Contoh : C = {3,4,5} dan S = { 4,5,6}

Maka CS = {4,5}, C berpotongan dengan S karena elemen-elemen 4 dan 5 anggota C juga anggota S.

3.        Himpunan yang saling lepas

Himpunan A&B di katakana saling lepas jika dan hanya jika kedua himpunan itu tidakmempunyai unsure yang sama. Notasinya “||”

Contoh : S = { 1,2,3} dan R = {5,6,7}

Maka S||R, karena kedua unsure tidak ada anggota yang sama.

4.        Himpunan Ekuivalen

Himpunan A&B di katakana ekuivalen jika dan hanya jika kedua himpunan mempunyai jumlah unsure yang sama.

Contoh : Y = {2,3,4,1} dan Z = {i,c,h,a}

Jumlah anggota sama, tetapi anggotanya berbeda. Maka Y~Z karena unsure Y sama banyaknya dengan anggota himpunan Z.

5.        Himpunan bagian

Himpunan A di sebut himpunan bagian atau subset dari himpunan B jika setiap anggota A merupakan anggota B. notasinya “”

Contoh : A = {a,b,c,d} dan B = { a,b,c,d,e,f}

Maka AB

No	Himpunan	Banyak Anggota	Banyaknya Himpunan Bagian	Rumus
1	{}	0	{} = 1	2
2	{1}	1	Ø, {1} = 2	2
3	{1,2}	2	Ø, {1}, {2}, {1,2} = 4	2
4	{1,2,3}	3	Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2},{1,3},{2,3}, {1,2,3} = 8	2
5	{1,2,3,4}	4	Ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4} {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {2,3,4}, {1,2,4}, {3,4,1}, {1,2,3,4} = 16	2
6	{1,2,3,4,5}	5	Ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5},  {1,2,3}, {3,4,5}, {4,5,1}, {1,2,4}, {1,2,5}, {3,4,1}, {3,4,2}, {2,3,5}, {2,3,1}, { 4,5,2}, { 1,2,3,4}, {2,3,4,5}, { 3,4,5,1},{ 4,5,1,2}, { 1,2,3,5}, { 1,2,3,4,5} = 32	2

• Operasi Himpunan

1.                  Komplemen

Komplemen suatu himpunan A adalah kumpulan unsur-unsur dalam himpunan semesta yang bukan anggota himpunan A. A^c di baca A komplemen. Notasi : A^’ atau A^c

Contoh :

S = { a,b,c,d,e}

A = {b,e}

A.. = {a,c,d}

2.   Gabungan ( Union )

S

Gabungan himpunan A&B adalah himpunan semua anggota A atau semua anggota B atau anggota kedua-duanya di tuliskan A U B “ A gabungan B”

Contoh :

A = { a,b,c}

B = { a,b,p,r}

A U B = { a,b,c,p,r}

3.   Irisan ( Intersection)

Irisan himpunan A&B adalah himpunan dari unsure-unsur persekutuan himpunan A dan himpunan B. di tuliskan A ∩ B “ di baca A irisan B “

Contoh :

A = {a,b,c}

B = {c,d,e}

A ∩ B = {c}

Daerah yang di arsir menunjukkan A ∩ B.

4.      Selisih  ( Difference)

Selisih dua himpunan  A&B = Irisan A dengan B komplemen. A-B = A ∩ B.

Contoh :

A = {a,b,c,d}

B = { f,d,b,g}

B = { a,c}

A ∩ B = {a,c}

• Rumus Bilangan Kardinal

Jika di ketahui dua himpunan A dan B sembarang, maka :

1.      n ( A U B ) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)

2.      n (A U B ) = n (A-B) + n (B-A) + n (A ∩ B)

3.      n (A U B ) = n (A+B) + n (A ∩ B)

4.      n (S) =  n (AUB) +  n (AUB)

Jika di ketahui tiga himpunan A, B dan C , maka :

1.      n ( A U B U C ) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A ∩ B) – n (A ∩ C) – n (B∩ C) + n (A∩ B∩C)

2.      n (S) =  n ( A U B U C ) + n ( A U B U C )

• Sifat-sifat Operasi Himpunan

1.      Komutatif

Þ       A U B = B U A

Þ       A ∩ B = B ∩ A

2.      Assosiatif

Þ       (A U B) U C = A U (B U C)

Þ       (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

3.      Idempoten

Þ       A U A = A

Þ       A ∩ A = A

4.      Distributif

Þ       A U (B ∩ C) = ( A U B ) ∩ ( A U C )

Þ       A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

5.      Komplementer

Þ       A U A’ = S

Þ       A ∩ A’ = Ø

6.      De Morgan

Þ    ( A U B )’ = A’∩ B’

Þ    ( A ∩ B )’ = A’ U B’

7.      Identitas

Þ       A U S = S

Þ       A ∩ S = A

8.      Penyerapan

Þ       A U ( A ∩ B ) = A

Þ       A ∩ ( A U B ) = A